இயற்கணிதம் காரணிப்படுத்துதல் காரணிப்படுத்தலில் இரு முக்கிய வழிகள்: 1) பொதுவான காரணிமுறை ab + ac a.b+a.c a(b+c) 2)குழுவாக அமைத்தல் a+b-pa-pb ( a+b)-p( a+ b) ( a+b)(1-p) மீப்பெரு பொது வகுத்தி: இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பல்லுறுப்பக் கோவைகளின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியானது அதன் பொதுக் காரணிகளுள் அதிகபட்ச பொதுப்படியைக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்பக் கோவையாகும். மீப்பெரு; பொதுக் காரணி ஆகும். எ.கா (Y^3+1) மற்றும் ( y^2-1) மீ.பொ வ காண்க தீர்வு (Y^3+1) =(y+1) (y^2- y+1) ( y^2-1) = (y+1)(y-1) மீ.பொ வ= (y+1)
Posts
இயற்கணிதம் இயற்கணித முற்றொருமைகள்: (a +b )^2 =a^2 +2ab+b ^2 (a - b) ^2= a^2 -2 ab+b ^2 (a +b )(a - b) = a^2 -b ^2 (x+a) (x +b) =x ^2+(a +b )x +ab எடுத்து காட்டு: முற்றொருமைகள் பயன்படுத்தி விரித்தெழுதுக: 1)(3x+4y)^2 தீர்வு: (3x+4y)^2. [ (a +b )^2 =a^2 +2ab+b ^2] a=3x, b=4y (3x+4y)^2. =(3x)^2 +2(3x)(4y) + (4y)^2 =9x^2+24xy+16^2 (a+b+ c) என்ற மூவுறுப்புக் கோவையின் விரிவாக்கம்: (x + y)^2= x^2 +2xy ^2+y^2 X= (a +b), y = c என பிரதியிட, (a+b+ c) ^2= (a +b)^2 +2 (a +b)(c) +c^2 ...
இயற்கணிதம் காரணித்தேற்றம்: P(x) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் படி n>1 மற்றும் a என்பது ஒரு மெய்யெண் எனில் 1) P(a) =0 ஆக உள்ளபோது (x- a) என்பது P(x) இன் ஒரு காரணி ஆகும். 2) (x- a) என்பது P(x) இன் ஒரு காரணி எனில் P(a) =0 ஆகும். தீர்வு: P(x) என்பது வகுபடும் கோவை மற்றும் (x- a) வகுக்கும் கோவை. பல்லுறுப்புக் கோவையின் வகுத்தல் விதியின் படி , P(x) = (x- a) q(x)+ p( a) இதில் q(x) என்பது ஈவு மற்றும் மீதி p( a) ஆகும். 1) P(a) =0 எனில் P(x) = (x- a) q(x) ஆகும்.மேலும் (x- a) என்பது P(x) இன் ஒரு காரணி. 2) (x- a) என்பது P(x) இன் ஒரு காரணியானதால், ...
இயற்கணிதம் பல்லுறுப்புக் கோவைகள்: ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை என்பது மாறிகள் மற்றும் மாறிலிகளைக் கொண்டு நான்கு அடிப்படைச் செயல்களால் இணைக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஆகும். இங்கு மாறிகளின் அடுக்கு குறையற்ற முழுக்கள் ஆகும். பல்லுறுப்புக் கோவையின் பூச்சியம்: P (x) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் மீதி p( a) =0 எனில்' a' என்பது P (x) இன் பூச்சியம் அல்லது பல்லுறுப்புக் கோவை சமன்பாடு P (x) =0 எனபதன் மூலம் ஆகும். மீதித்தேற்றம்: (X ^2 -6x +8) ஐ (x -3)ஆல் வகுக்க: தீர்வு: x -3 =0 x=3 P(3)=3^2 -6(3) +8 =9 -18 +8 = -1 எனவே (x -3) என்பது P (x) இன் ஒரு காரணியல்ல.
மெய்யெண்கள் அறிவியல் குறியீட்டு வடிவம்: கதிரவனின் விட்டம் 13,92,000 கி.மீ மற்றும் பூமியின் விட்டம் 12,740 கீ.மீ இவற்றை ஒப்பிட கடினமானது ,மாறாக 13,92,000 என்பதை 1.392.*10^6. எனவும் 12,740 என்பதை 1.274 *10^4, எனவும் கொடுத்தால் அது எளிமையான தோன்றும் இந்த வடிவமைப்பு அறிவியல் குறியீட்டு வடிவம் எனப்படும். 1.392.*10^6. 14 ---------------------- ~ ------ * 10^2. =108 1.274 *10^4, 13 அறிவியல் குறியீட்டு...
மெய்யெண்கள் முறுடுகளை விகிதம் படுத்துதல்; ஓர் உறுப்பை விகிதமுறு எண்ணாக மாற்ற அதை எந்த உறுப்பால் பெருக்க அல்லது வகுக்க வேண்டுமோ அந்த உறுப்பை கொடுக்கப்பட்ட உறுப்பின் "விகிதப்படுத்தும் காரணி" எனப்படும். எடுத்துக்காட்டு: √3 இன் விகிதப்படுத்தும் காரணி √3 இணை முறுடுகள்: a+√b மற்றும் a - √b என்ற வடிவத்தில் உள்ள முறுடுகள் இணை முறுடுகள் என அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டு: (5+√3)÷(5-√3) பகுதியை விகிதப்படுத்துக: தீர்வு: (5+√3). (5+√3). (5+√3) ------------ = ------------ *...
மெய்யெண்கள் மூலக்குறியீட்டு விதிகள்: m,n என்பன மிகை முழுக்கள் a மற்றும் b எனில் மிகை வீகிதமுறு எண்கள். மூலக்குறியீட்டு வடிவம்: 1) (n√a)^n= a= n√a^n 2)n√a * n√b = n√ab அடுக்கு வடிவம்: 1) (a^1/n)*(b^1/n)= (ab)^1/n 2) (a^1/n)^1/m =a^(1/mn ) =( a^1/m)^1/n முறுடுகளில் நான்கு அடிப்படைச் செயல்கள்: (1) முறுடுகளில் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல்: ஒத்த முறுடுகளை கீழ்காணும் விதியைப் பயன்படுத்தி கூட்டவோ கழிக்கவோ முடியும். a n√b+ c n√b =(a +b)n√b இங்கு b>0 எடுத்துக்காட்டு: 3√7 ம...
மெய்யெண்கள் முறுடுகள்: முறுடு என்பது ஒரு விகிதமுறு எண்ணின் விகிதமுறா மூலம் ஆகும். n√a என்பது ஒரு முறுடு, n€N, n>1 ,'a' ஒரு விகிதமுறு எண். முறுடின் வரிசை: ஒரு முறுடானது எந்த மூலத்திலிருந்து பெறப்படுகிறதோ, அந்த மூலத்தின் வரிசை அந்த முறுடின் வரிசை எனப்படுகிறது. n√a என்ற முறுடின் வரிசை n ஆகும். முறுடின் வகைகள்: (1) ஒரே வரிசை கொண்ட முறுடுகள்: இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட முறுடுகளின் வரிசைகள் சமம் எனில் அந்த முறுடுகள் ஒரே வரிசை கொண்ட முறுடுகள். எடுத்துக்காட்டு: √3, 3√10 மற்றும்8^2/5 வெவ்வேறு வரிசை கொண்ட முறுடுகள். (2). முறுடின் எளிய வடிவம்: ...
மெய்யெண்கள் மூலக்குறியீட்டு வடிவம்: 'n' ஒரு மிகை முழு மற்றும் r ஒரு மெய்யெண்என்க r^n=xஎனில் rஎன்பது xஇன் 'n' ஆவது மூலம் என அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டு: n√x=r இங்கு n√x என்பது மூலக்குறியீடு n என்பது மூலத்தின் வரிசை X என்பது மூல அடிமானம் என அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டு: பின்வருவனவற்றை 2^n வடிவத்தில் எழுதுக: (1) 32. (2)√8 தீர்வு: (1) 32=2*2*2*2*2 =2^5 (2)√8 =√2 *√2 *√2 = 2^3/2 X^m/n என்பதன் பொருள்: X^m/n என்பதை நாம் x இன் m ஆவது அடுக்கின் ஆவது மூலம் அல்லது n ஆவது மூலத்தின் m ஆவது அடுக்கு என எழுதலாம் X^m/n =(x^m)^1/n அல்லது (x^1/n)^m= (n√m)^m எடுத்துக்காட்டு: மதிப்பு காண்க: 81^5/4 தீர்வ...
இயற்கணிதம் மீதித்தேற்றம்: P (x) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் படி 1 ஐ விடப் பெரியதாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருந்து அதை x-a என்ற கோவையில் வகுக்க கிடைக்கும் மீதி p(a) ஆகும். இங்கு 'a' என்பது மெய்யெண். மீதித்தேற்றத்தின் முக்கியத்துவம்: P (x) ஐ (x +a) ஆல் வகுக்க கிடைக்கும் மீதி p(-a) ஆகும். P (x) ஐ (ax -b) ஆல் வகுக்க கிடைக்கும் மீதி p(b/a) ஆகும். P (x) ஐ (ax +b) ஆல் வகுக்க கிடைக்கும் மீதி p(-b/a) ஆகும். எ.கா: f( x)=x^3+3x^2+3x+1 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையை (x+1 ) ஆல் வகுக்க கிடைக்கும் மீதியைக் காண்க: தீர்வு: f( x)=x^3+3x^2+3x+1 g(x) = (x+1...
இயற்கணிதம் பல்லுறுப்புக் கோவையின் மதிப்பு மற்றும் பூச்சியங்கள் பல்லுறுப்புக் கோவையின் மதிப்பு: P(x) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் x =0 எனில் அதன் மதிப்பு p( a) என கிடைக்கும்.இது x ஐ a என மாற்றுவதால் கிடைக்கும். எ.கா f (x) =x^2+3x -1 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் x = 2 எனும் போது f(x) மதிப்பும காண்க: தீர்வு: f (x) =x^2+3x -1 =2^2+3(2) -1 f (2) =4+6-1 =9 பல்லுறுப்புக் கோவையின் சமன்பாட்டின் மூலங்கள்: p( a) எனில் 'a' என்பது p (x) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் மதிப்பு பூச்சியம் ஆகும். X ற்கு பதிலாக m, n, 2, 5........ என பிரதியிட்டு p (x) =0 என பெறுமாய...
இயற்கணிதம் பல்லுறுப்புக் கோவையின் வகுத்தல்: P(x) மற்றும் g(x) ஆகிய இரு பல்லுறுப்புக் கோவைகள் P(x) ன் > g(x) ன் படி மற்றும் g(x) =0 ஆக இருக்க கூடாது. P(x) = g(x) *q(r)+r(x) என்ற வடிவத்தில் கிடைக்கும். எ.கா (5 x^2 - 7x + 2).÷( x- 1) ஈவு மீதீ காண்க: தீர்வு: 5x - 2 . |------------------------ x -1 | 5 x^2 - 7x +2 | ...
இயற்கணிதம் பல்லுறுப்புக் கோவையின் கூட்டல், கழித்தல் மற்று பெருக்கல் பல்லுறுப்புக் கோவையின் கூட்டல்: 4x^2 -3 x +2x^3 +5 மற்றும் x^2. +2x +4 இச் சமன்பாடுகளின் கூடுதல் காண்க: தீர்வு: P (x)= 4x^2 -3 x +2x^3 +5 q(x) =x^2+2x+4 P( x)= 2x^3 + 4x^2 - 3 x+5 q(x)= x^2+2x+4 ----------------------------- 2x^3 +5x^2-x+9 பல்லுறுப்புக் கோவையின் கழித்தல்: இரண்டு பல்லுறுப்புக் கோவையின் கழித்தல் மற்றொரு பல்லுறுப்புக் கோவையாகும். எ.கா 4x^2 -3 x ...
இயற்கணிதம் ஒரு மாறியில் அமைந்த பல்லுறுப்புக் கோவை: P (x)=a(n)x^n+..............++a2x^2+a1x^1+a௦என்ற வடிவியல் அமைந்த ஒர் இயற்கணித கோவை பல்லுறுப்புக் கோவை எனப்படும். இங்கு xன் படி 'n' மேலும் a0,a1,a2,.........ஆகியவை மாறிலிகள். பல்லுறுப்புக் கோவையின் திட்ட வடிவம்: P(x) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையை அதன் x ன் அடுக்கை பொறுத்து இறங்கு வரிசையில் அல்லது ஏறுவரிசையிலோ எழுதுவது பல்லுறுப்புக் கோவையின் திட்ட வடிவம் எனப்படும். 2x^4+ 4x^3 -7x^2 - 9x + 6 இங்கு x என் படிகள் அனைத்தும் ஏறுவரிசையில் உள்ளதால் இது பல்லுறுப்புக் கோவையின் திட்ட வடிவம் எ...
இயற்கணிதம் ஒத்த உறுப்புகளின் கழித்தல்: இரண்டு ஒத்த உறுப்புகளின் வேறுபாடு காண அவற்றின் எண் கெழுக்களின் வேறுபாட்டை காண வேண்டும் . ஒத்த உறுப்புகளின் கழித்தல் காணும் வழி முறைகள்: கிடைமுறை நிலை குத்து முறை கிடைமுறை அனைத்து உறுப்புகளையும் கிடை வரிசையில் வரிசைப்படுத்தி ஒத்த உறுப்புகளை ஒன்றுபடுத்தி பின்னர் அவற்றின் கழித்தல் காண வேண்டும். எ.கா 7a லிருந்து 3a ஐக் கழிக்க: தீர்வு: 7a- 3a =(7-3)a =4a நிலை குத்து முறை: ஒத்த உறுப்புகளை நிலைக்குத்தாக எழுதி பின்னர் நாம் அவற்றின் கழித்தல் காண வேண்டும். எ.கா: 7a லிருந்து 3a ஐக் கழிக்க தீர்வு: 7a - 3a ------- ...
வடிவியல் சுழற்சி கோணம் ,சுழல் சமச்சீர் வரிசை: சுழற்சி கோணம் , : ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியைப் பொறுத்து எந்த குறைந்த கோண அளவில் ஒரு வடிவத்தை சுழற்றினால் அதே வடிவம் கிடக்கிறதோ அந்த கோணத்தை சுழற்சி கோணம் எனப்படும். அதன் மையப்புள்ளியை சுழற்சி மையம் என்கிறோம். வடிவங்களின் சுழற்சி கோணம் , : சமபக்க முக்கோணத்தின் சுழற்சி கோணம் 120° ஆகும். சுழல் சமச்சீர் வரிசை: சுழல் சமச்சீர் வரிசை என்பது ஒரு வடிவம் எத்தனை முறைகள் ஒரு முழுசுற்றில் அதே வடிவத்தைப் போல் உள்ளதோ அந்த எண்ணிக்கை சுழல் சமச்சீர் வரிசை எனப்படும். ஒரு பொருளின் சுழற்சி கோணம் x° எ...
.வடிவியல் சமச்சீர் தன்மை: ஒரு பொருளின் இரு அரைபாகங்களும் ஒன்றோடொன்று உருவம் மற்றும் அளவில் சரியாக பொருத்தினால் அது சமச்சீர் தன்மை எனப்படும். எ.கா சமச்சீர் தன்மைக்கு பூக்கள்,இலைகள், கைக்குட்டை, போன்றவை ஆகும். சமச்சீர் தன்மையின் வகைகள்: சமச்சீர் கோடு ஆடி சமச்சீர் தன்மை சுழல் சமச்சீர் தன்மை சமச்சீர் கோடு ஒரு பகுதியானது மற்றொரு பகுதியுடன் சரியாக ஒன்றோடொன்று பொருந்தும் இந்த கோட்டை சமச்சீர் கோடு எனப்படும். சுழல் சமச்சீர் தன்மை: ஒரு வடிவத்தை 360° க்கு குறைவாக சுழற்றும் போது அதே வடிவம் கிடைப்பது சுழல் சமச்சீர் தன்மை எனப்படும்.
இயற்கணிதம் ஒத்த உறுப்புகளின் கூட்டல்: இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட ஒத்த உறுப்புகளின் கூடுதலை காண அவற்றில் எண் கெழுக்களை கூட்ட வேண்டும். ஒத்த உறுப்புகளின் கூட்டல் வழிமுறைகள்: 1) நிலைகுத்து முறை 2) கிடை முறை கிடை முறை: அனைத்து உறுப்புகளையும் கிடை வரிசையில் வரிசைப்படுத்தி ஒத்த உறுப்புகளை ஒன்றுபடுத்தி பின்னர் அவற்றின் கூட்டலை காண வேண்டும். எ.கா 2x+5x =(2+5)x =7x நிலைகுத்து முறை: ஒத்த உறுப்புகளை நிலைகுத்தாக எழுதி பின்னர் அவற்றின் கூட்டலை காண வேண்டும். எ.கா 4a +7a கூட்டுக தீர்வு 4a ...
இயற்கணிதம் அடுக்கு ஒத்த உறுப்புகள் மற்றும் மாறுப்பட்ட உறுப்புகள்: அடுக்கு வரையறை: ஒரு மாறியை எத்தனை முறை பெருக்குகிறோமோ அது அம் மாறியின் அடுக்கு எனப்படும். a^R என்ற உறுப்பில் மாறி a ன் R ஆகும். ஒத்த உறுப்புகள் வரையறை: ஒத்த அடுக்குகளைக் கொண்ட ஒத்த மாறிகளின் பெருக்கல் ஒத்த உறுப்புகள் எனப்படும். எ.கா -5x, x, 9x மாறுபட்ட உறுப்புகள் வெவ்வேறு அடுக்குகளைக் கொண்ட வெவ்வேறு மாறிகள் அல்லது மாறிகளின் பெருக்கல் மாறுபட்ட உறுப்புகள் ஆகும். எ.கா 6x, 6y, 5xy, 8x, 8xy^2 இயற்கணித கோவையின் படி: ...
இயற்கணிதம் மாறி,மாறிலி,கெழுக்குகள் மற்றும் உறுப்புகள்: மாறி வரையறு: வெவ்வேறு எண் மதிப்புகளை பெற கூடிய ஒர் உறுப்பு மாறி எனப்படும். எடுத்துக்காட்டு: a,b,c, x, y,z மாறிலி வரையறு: நிலையான எண் மதிப்புகளை கொண்ட ஒர் உறுப்பு மாறிலி எனப்படும். எடுத்துக்காட்டு: 3, 12,-3,-4 எண்கோவை வரையறை: எண்கணித செயல்பாடுகள் மூலமாக சேர்த்து எழுதப்பட்ட எண்கள் எண்கோவை எனப்படும். எடுத்துக்காட்டு: 3+(4*5), 5-(4*6) உறுப்பு ஒரு மாறிலியாகவோ அல்லது ஒரு மாறியாகவோ அல்லது மாறிலி மற்றும் மாறிகளின் பெருக்லின் சேர்க்கையே ஒர் உறுப்பு எனப்படும். எடுத்துக்காட்டு: 3x^2+6x-5 என்ற கோவையில் 3x^2...
வடிவியல் குறுக்கு வெட்டி சார்ந்த கணக்குகள் எடுத்து காட்டு படத்தில் AB|| CD,<AFG=120° எனில் 1) <DGF 2)<GFB 3)<CGF ஆகியவற்றைக் காண்க: தீர்வு: கொடுத்துள்ள படத்தில் AB|| CD மற்றும் EH என்பது குறுக்கு வெட்டி 1)<AFG=120° <DGF= <AFG=120°( ஒன்று விட்ட கோணங்கள் சமம்) DGF =120° 2) <AFG +<GFB=180°( ஒரு கோட்டின் மீதான அடுத்துள்ள கோணங்களின் கூடுதல் 180° ) 120°+< GFB =180° < GFB =180°-120° =60° < GFB=60° 3)...
